Couple d'entiers mystère et facteurs premiers - Corrigé

Énoncé

À l'aide de décompositions en produits de facteurs premiers, déterminer $(a;b)\in {\mathbb{N}}^2$ tel que :  ${\displaystyle \frac{a}{b}}={\displaystyle \frac{936}{1188}}$  et  $a+b=472$ .

Solution

D'une part, on a :
$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}936& 2\\ 468& 2\\ 234& 2\\ 117& 3\\ 39& 3\\ 13& 13\\ 1\end{array}\end{array}$  donc $936=2^3\times 3^2\times 13$ .

D'autre part, on a :
$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}1188& 2\\ 594& 2\\ 297& 3\\ 99& 3\\ 33& 3\\ 11& 11\\ 1\end{array}\end{array}$  donc $1188=2^2\times 3^3\times 11$ .

On en déduit que : $\begin{array}{r}\frac{a}{b}=\frac{936}{1188}=\frac{2^3\times 3^2\times 13}{2^2\times 3^3\times 11}=\frac{2\times 13}{3\times 11}=\frac{26}{33}\end{array}$ et donc $33a=26b$ .

Ainsi, $26$ divise $33a$ . Or $26$ et $33$ sont premiers entre eux donc, d'après le théorème de Gauss, $26$ divise $a$ , c'est-à-dire qu'il existe un entier $k\in \mathbb{N}$ tel que $a=26k$ .

On a alors $\begin{array}{r}33a=26b⟺33\times 26k=26b⟺b=33k\end{array}$  et donc $(a;b)=(26k;33k)$ .

De plus, on sait que $a+b=472$ , autrement dit :  $472=26k+33k=59k$  et donc $k={\displaystyle \frac{472}{59}}=8$ .

On a finalement $(a;b)=(26\times 8;33\times 8)=(208;264)$ .