Couple d'entiers mystère et facteurs premiers - Corrigé

Énoncé

À l'aide de décompositions en produits de facteurs premiers, déterminer \((a;b) \in \mathbb{N}^2\) tel que :  \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{936}{1\,188}\)  et  \(a+b=472\) .

Solution

D'une part, on a :
\(\begin{align*}\begin{array}{r|l}936&2\\ 468&2\\ 234&2\\ 117&3\\ 39&3\\ 13&13\\ 1\end{array}\end{align*}\)  donc \(936=2^3 \times 3^2 \times 13\) .

D'autre part, on a :
\(\begin{align*}\begin{array}{r|l}1\,188&2\\ 594&2\\ 297&3\\ 99&3\\ 33&3\\ 11&11\\ 1\end{array}\end{align*}\)  donc \(1\,188=2^2 \times 3^3 \times 11\) .

On en déduit que : \(\begin{align*}\frac{a}{b}=\frac{936}{1\,188}=\frac{2^3 \times 3^2 \times 13}{2^2 \times 3^3 \times 11}=\frac{2 \times 13}{3 \times 11}=\frac{26}{33}\end{align*}\) et donc \(33a=26b\) .

Ainsi, \(26\) divise \(33a\) . Or \(26\) et \(33\) sont premiers entre eux donc, d'après le théorème de Gauss, \(26\) divise \(a\) , c'est-à-dire qu'il existe un entier \(k \in \mathbb{N}\) tel que \(a=26k\) .

On a alors \(\begin{align*}33a=26b\ \ \Longleftrightarrow \ 33 \times 26k=26b\ \ \Longleftrightarrow \ \ b=33k\end{align*}\)  et donc \((a;b)=(26k;33k)\) .

De plus, on sait que \(a+b=472\) , autrement dit :  \(472=26k+33k=59k\)  et donc \(k=\dfrac{472}{59}=8\) .

On a finalement \((a;b)=(26 \times 8;33 \times 8)=(208;264)\) .